Kort jest wychowankiem Pogoni, grał też - na zasadzie wypożyczenia - we Flocie Świnoujście i Bytovii Bytów. Najlepszy w jego karierze był sezon 2016/17, w którym w 24 meczach zdobył sześć bramek. Minione rozgrywki były dla niego mniej udane i został przez Pogoń wystawiony na listę transferową. Do Wisły trafił jednak na zasadzie transferu bezgotówkowego, gdyż wcześniej rozwiązał kontrakt ze szczecińskim klubem. W Krakowie Kort będzie podopiecznym Macieja Stolarczyka, który przed objęciem posady trenera Wisły był dyrektorem sportowym Pogoni. "Dawida znam bardzo dobrze. To zawodnik z ogromnym potencjałem i chciałbym, aby ten potencjał rozwinął. Jest on innym typem zawodnika, od tych, których mamy w szatni, chciałbym, żeby wzmocnił rywalizację w zespole" - powiedział Stolarczyk. Kort jest czwartym piłkarzem pozyskanym przez krakowski klub tego lata. Wcześniej Wisłę zasilili: bramkarz Mateusz Lis z Lecha Poznań (ostatnio był na wypożyczeniu w Rakowie Częstochowa), lewy obrońca Marcin Grabowski z rezerw Lecha Poznań i skrzydłowy Asmir Suljic z Videotonu Szekesfehervar. Ponadto z wypożyczenia do Sandecji Nowy Sącz powrócił Jakub Bartosz, a z Zagłębia Lubin Rafał Pietrzak.