W latach 50. Davidson był jednym z czołowych tenisistów świata, a w 1957 roku - jako pierwszy Szwed w historii - triumfował w Wielkim Szlemie, zwyciężając w turnieju na kortach ziemnych im. Rolanda Garrosa. Był to jego trzeci z rzędu występ w paryskim finale, ale pierwszy wygrany. W kolejnym sezonie ponownie wywalczył wielkoszlemowy tytuł, tym razem w deblu, gdy wygrał z rodakiem Ulfem Schmidtem turniej na trawiastej nawierzchni w Wimbledonie. Przez kilkanaście lat był też członkiem reprezentacji Szwecji w Pucharze Davisa, a bilans jego występów w tej prestiżowej rywalizacji to 62 zwycięstwa i 23 porażki (39:14 w singlu i 23-9 w deblu).