Dąbrowski jest wychowankiem Zagłębia Lubin. Ostatecznie sześć lat spędził jednak w Krakowie, będąc zawodnikiem Cracovii. Środkowy pomocnik imponował formą pod koniec 2016 roku, kiedy zadebiutował w reprezentacji Polski. Później nabawił się jednak dwóch poważnych kontuzji, dwukrotnie zrywając więzadła krzyżowe w kolanie - raz prawej, a raz lewej nogi. Po dojściu do zdrowia Dąbrowski nie potrafił wywalczyć sobie miejsca w składzie Cracovii, a trener Michał Probierz nazywał go "ofiarą przepisu o młodzieżowcu", bowiem na jego pozycji grał młodzieżowiec Sylwester Lusiusz. W piątek 26-latek rozwiązał kontrakt z "Pasami" za porozumieniem stron. Dąbrowski nie musiał długo czekać na znalezienie nowego pracodawcy. Została nim Pogoń Szczecin, z którą podpisał trzyletni kontrakt. W Szczecinie pomocnik ma być alternatywą dla Kamila Drygasa, który pauzuje właśnie przez kontuzję zerwanych więzadeł krzyżowych i nie zagra do końca roku. Z nowym klubem pomocnik podpisał trzyletni kontrakt. Będzie występował z numerem 8. WG